Información de la asignatura

1. Detalles de la asignatura

1.1. Materia

Optativas Tipo A

1.2. Carácter

Optativa

1.3. Nivel

Grado (MECES 2)

1.4. Curso

2

1.5. Semestre

Segundo semestre

1.6. Número de créditos ECTS

6.0

1.7. Idioma

Español

1.8. Requisitos previos

Ninguno.

1.9. Recomendaciones

Ninguna.

1.10. Requisitos mínimos de asistencia

-

1.11. Coordinador/a de la asignatura

Eva Elduque Laburta

1.12. Competencias y resultados del aprendizaje

1.12.1. Competencias

BÁSICAS

CB1 - Que los estudiantes hayan demostrado poseer y comprender conocimientos en un área de estudio que parte de la base de la educación secundaria general, y se suele encontrar a un nivel que, si bien se apoya en libros de texto avanzados, incluye también algunos aspectos que implican conocimientos procedentes de la vanguardia de su campo de estudio.

CB4 - Que los estudiantes puedan transmitir información, ideas, problemas y soluciones a un público tanto especializado como no especializado

GENERALES

CG1 - Aplicar los principios del método científico, con el fin de dar respuestas innovadoras a las necesidades y demandas de la sociedad.

CG2 - Buscar e interpretar la información obtenida de las fuentes bibliográficas adecuadas

COMPETENCIAS TRANSVERSALES

CT1 - Poseer capacidad para desarrollar el pensamiento original y promover la capacidad de innovación, reconociendo y analizando un problema y planteando una estrategia científica para resolverlo.

CT2 - Ser capaz de adaptarse a nuevas situaciones, tomar decisiones y mostrar capacidad de emprendimiento, iniciativa y espíritu de liderazgo.

CT3 - Adquirir hábitos de trabajo en equipo, tanto en ambientes multi como interdisciplinares dentro del ámbito científico.

CT4 - Demostrar capacidad de organización y planificación, que permita la adaptación a problemas o situaciones científico-técnicas más o menos complejas, siempre desde el marco deontológico y el compromiso ético.

COMPETENCIAS ESPECÍFICAS

CE1 - Utilizar correctamente la terminología científica (nomenclatura, lenguajes, convenciones, unidades etc.)

CE2 - Conocer y comprender las leyes y principios fundamentales de la Ciencia, aplicándolos a sus diversas áreas en estudio, para explicar y predecir la naturaleza, sus propiedades, fenómenos y en resumen resolver problemas.

CE3 - Utilizar las herramientas matemáticas más adecuadas para resolver problemas y proponer, validar e interpretar modelos de situaciones reales sencillas.

CE4 - Familiarizarse con los conceptos básicos, nomenclatura, técnicas y aplicaciones más importantes de la programación. Utilizar adecuadamente herramientas informáticas de análisis estadístico, cálculo numérico y simbólico, visualización gráfica, optimización etc. para procesar datos, calcular propiedades y resolver problemas.

CE5 - Conocer los principales problemas actuales y los retos futuros de las ciencias, así como las aplicaciones prácticas y las. implicaciones éticas y sociales de las mismas

1.12.2. Resultados de aprendizaje

• Manejar con soltura el lenguaje moderno de las matemáticas (conjuntos, funciones, relaciones), reforzando su capacidad para el razonamiento lógico.
• Entender y generar por su propia cuenta demostraciones matemáticas sencillas.
• Manejar los distintos conjuntos de números que se utilizan en Matemáticas, sus operaciones y propiedades elementales.

1.12.3. Objetivos de la asignatura

• Reforzar la capacidad del estudiante para el razonamiento lógico, en particular, para entender y generar por su propia cuenta demostraciones matemáticas.
• Familiarizarse con los distintos conjuntos de números que se utilizan en Matemáticas, recorriendo el camino histórico desde los números naturales, a través de los enteros y los racionales y terminando con la construcción de los números reales y complejos.
• Conocer los conceptos de cardinal y ordinal infinitos, y distinguir los conjuntos numerables de los que no lo son.
• Estudiar la divisibilidad y las congruencias como antesala de algunos resultados sencillos de Teoría de Números.
• Conocer y manejar las propiedades fundamentales de los polinomios y las funciones racionales

1.13. Contenidos del programa

1. Conjuntos. Formas de especificar un conjunto. El Conjunto Vacío. Relación de Inclusión. Operaciones con conjuntos. Partes de un Conjunto. Números combinatorios. Teorema del binomio de Newton.
2. Funciones. Producto cartesiano de dos conjuntos. Concepto de Función. Gráficas. Funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas. Conjuntos finitos. Principio del palomar. Ejemplos. Composición de Funciones y Función Inversa. Comportamiento respecto a la unión, la intersección y el complementario.
3. Relaciones de orden. Relación binaria sobre un conjunto. Propiedades reflexiva, simétrica, antisimétrica y transitiva. Relaciones de orden. Máximos, mínimos, elementos maximales y minimales, Cotas, supremos e ínfimos. Relaciones de orden total. Axioma de elección, conjuntos inductivos, lema de Zorn. Ejemplos y aplicaciones.
4. Relaciones de equivalencia y cardinales. Relaciones de Equivalencia. Clases de equivalencia. Particiones y conjunto cociente. Funciones definidas en el conjunto cociente. Conjuntos equipotentes. Teorema de Cantor-Schröder-Bernstein. Idea de Cardinal. Conjuntos numerables y no numerables y sus propiedades. La hipótesis del continuo.
5. Teoría de Números elemental. Operaciones binarias; grupos, anillos, cuerpos. Los Números Enteros. Propiedades de las operaciones y el orden en los enteros. Divisibilidad en los enteros. Congruencias módulo n. Teorema de la división, máximo común divisor y mínimo común múltiplo. Algoritmo de Euclides. Identidad de Bézout. Números Primos entre sí. Números Primos. Teorema de Euclides. Teorema Fundamental de la Aritmética. Ecuaciones diofánticas. Ecuaciones lineales en congruencias. Sistemas de congruencias y el teorema chino del resto. El teorema pequeño de Fermat. La Función φ de Euler y el teorema de Euler.
6. Extensiones de Q. Los cuerpos R y C: Construcción de los números reales. Propiedad del supremo. Números complejos. Representación geométrica. Forma polar. Potencias y raíces de un número complejo. Raíces de la unidad.
7. Polinomios. Anillos de polinomios. Grado de un polinomio. Teorema de la división. Ceros de un polinomio. Multiplicidad. Funciones polinómicas. Unidades y polinomios irreducibles. Factorización. El Lema de Gauss y sus consecuencias. Irreducibilidad en Z[X]. Criterio de Eisenstein. Teorema fundamental del álgebra. Polinomios irreducibles en C[X] y en R[X].

1.14. Referencias de consulta

Referencia principal:

- A. CÓRDOBA: La saga de los números. Editorial Crítica, Colección Drakontos, 2006.

Otras referencias:

- A. CUPILLARI: The Nuts and Bolts of Proofs, Third Edition (paperback). Academic Press , 2005.

- K. DEVLIN: Sets, functions, and logic: an introduction to abstract mathematics. Chapman & Hall, 1995.

- J. DORRONSORO y E. HERNÁNDEZ: Números, grupos y anillos. Addison Wesley Iberoamericana, 1996.

- P. J. ECCLES: An Introduction to Mathematical Reasoning: Numbers, Sets and Functions. Cambridge University Press, 1997.

- W. J. GILBERT, S. A. VANSTONE, An introduction to mathematical thinking: algebra and num-ber systems. Pearson Prentice Hall, 2005.

- P. HALMOS: Naive Set Theory. Springer, 1974.

- A. G. HAMILTON: Numbers, sets and axioms, the apparatus of mathematics. Cambridge Univer-sity Press, 1982.

- M. W. LIEBECK: A concise introduction to pure mathematics. CRC Press, Taylor & Francis group, 201.

2. Metodologías docentes y tiempo de trabajo del estudiante

2.1. Presencialidad

Esta asignatura se organiza mediante clases presenciales de teoría y prácticas  a las que se añaden las horas de trabajo personal del estudiante para el estudio y la resolución de ejercicios o trabajos planteados por el profesor. Las restantes horas se dedican a la realización de exámenes, controles intermedios u otras actividades.

En media semanal, las horas presenciales se distribuyen en:

3 horas de teoría (en las que se imparten los contenidos teóricos acompañados de ejercicios y ejemplos y se resuelven algunos de los problemas planteados a los estudiantes)

2 hora de prácticas (en las que se pretende una participación activa del estudiante a través de la resolución de ejercicios y problemas, presentaciones de trabajos, realización de controles intermedios, etc.)

El curso consta de las siguientes actividades: clases teóricas y prácticas de aula, tutorías y examen.

Las clases de aula incluyen la presentación de los contenidos teóricos, la discusión de ejemplos y la resolución de ejercicios prácticos. Durante las clases se desarrollan los conceptos y técnicas más importantes, que se aplican de manera continuada a la resolución de ejercicios y problemas.

Se dispone de una página web en la que se encuentran materiales auxiliares, ejemplos prácticos y ejercicios. Como sistema de apoyo a la docencia los estudiantes disponen de tutorías, previa petición de cita.

2.2. Relación de actividades formativas

2b. Metodologías Docentes:

Método expositivo: presentaciones orales por parte del profesor apoyadas, si fuera el caso, con material informático.

Aprendizaje basado en problemas: desarrollo de aprendizajes activos a través de la resolución de problemas, que enfrentan a los estudiantes a situaciones nuevas en las que tienen que buscar información y aplicar los nuevos conocimientos para la resolución de los problemas.

3. Sistemas de evaluación y porcentaje en la calificación final

3.1. Convocatoria ordinaria

Examen final escrito

Durante el curso se llevarán a cabo 2 controles para evaluar el aprendizaje de forma continuada. Estos controles supondrán hasta un 60% de la calificación final y un mínimo de un 20%. Al final del curso se efectuará una evaluación final que incluirá una recuperación de parte de los controles previos (hasta el 40%) + material adicional (40%).

Asistencia y participación en prácticas en aula

Los controles periódicos representarán, al menos, un 20% de la calificación final. Estos controles podrán incluir: exámenes parciales, prácticas con medios informáticos, entrega de trabajos o presentaciones orales.

3.1.1. Relación actividades de evaluación

Al inicio del curso se informará con detalle a los estudiantes del peso detallado de cada elemento de la evaluación.

3.2. Convocatoria extraordinaria

La calificación correspondiente a la convocatoria extraordinaria será la nota obtenida en la prueba específica realizada en la fecha marcada por el calendario académico.

3.2.1. Relación actividades de evaluación

4. Cronograma orientativo

*Este cronograma tiene carácter orientativo.